2. Лучи АВ и АС касаются окружности с центром Ов точках В и С, угол ВАС = 50°. Найдите угол СВО.

Решение:

1. Так как АВ и АС — касательные к окружности, проведенные из одной точки А, то АО является биссектрисой угла \(\angle BAC\) и делит его пополам. Следовательно, \(\angle BAO = \angle CAO = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}\).
2. Рассмотрим \(\triangle ABO\). Так как АВ — касательная, то радиус ОВ перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, \(\angle ABO = 90^{\circ}\).
3. Сумма углов в \(\triangle ABO\) равна \(180^{\circ}\). Значит, \(\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^{\circ}\).
4. Подставим известные значения: \(25^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}\).
5. Отсюда \(\angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ}\).
6. Рассмотрим \(\triangle CBO\). ОВ и ОС — радиусы окружности, поэтому \(\triangle CBO\) — равнобедренный. \(\angle OBC = \angle OCB\).
7. Угол \(\angle BOC\) является центральным углом, опирающимся на дугу ВС. Угол \(\angle BAC\) — вписанный, опирающийся на ту же дугу. Но это не совсем так, \(\angle BAC\) — это угол между касательными.
8. Рассмотрим \(\triangle ABC\). Так как АВ = АС (свойство касательных, проведенных из одной точки), то \(\triangle ABC\) — равнобедренный.
9. Углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - \angle BAC}{2} = \frac{180^{\circ} - 50^{\circ}}{2} = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ}\).
10. Угол \(\angle CBO\) является частью угла \(\angle ABC\).
11. В \(\triangle ABO\), \(\angle ABO = 90^{\circ}\) (радиус перпендикулярен касательной).
12. Таким образом, \(\angle CBO = \angle ABO - \angle ABC\) — это неверно, так как точка С находится внутри угла \(\angle ABC\).
13. Правильный подход: \(\angle ABC = 65^{\circ}\) — это весь угол при основании равнобедренного \(\triangle ABC\).
14. Нам нужно найти \(\angle CBO\).
15. Рассмотрим \(\triangle ABO\). \(\angle BAO = 25^{\circ}\), \(\angle ABO = 90^{\circ}\).
16. В \(\triangle ACO\), \(\angle CAO = 25^{\circ}\), \(\angle ACO = 90^{\circ}\).
17. \(\triangle ABO = \triangle ACO\) по гипотенузе и острому углу.
18. \(\angle CBO\) — это часть \(\angle ABO\).
19. В \(\triangle ABC\), \(\angle ABC = 65^{\circ}\).
20. \(\angle CBO\) — это угол между касательной АВ и хордой ВС.
21. Рассмотрим \(\triangle BCO\). \(\triangle BCO\) — равнобедренный, так как OB = OC (радиусы). \(\angle OBC = \angle OCB\).
22. Угол \(\angle BOC\) = \(2 \cdot \angle BAC\) — это если бы \(\angle BAC\) был вписанный.
23. Найдем \(\angle BOC\). В четырехугольнике ABOC, сумма углов равна \(360^{\circ}\). \(\angle BOC = 360^{\circ} - \angle BAC - \angle ABO - \angle ACO = 360^{\circ} - 50^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 130^{\circ}\).
24. В равнобедренном \(\triangle BCO\): \(\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}\).

Ответ: 25°.