3. Из точки А, взятой вне окружности, проведены касательная АВ(В - точка касания) и секущая AD(Си D – точки пересечения с окружностью, Спринадлежит AD). Найдите градусную меру дуги СВ, если дуга ДВравна 120°, угол BAD равен 35°.

Решение:

1. Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, которую он отсекает. \(\angle ABD\) — это угол между касательной АВ и хордой BD.
2. \(\angle ABD = \frac{1}{2} \text{ дуга } BD = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}\).
3. Рассмотрим \(\triangle ABD\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\).
4. \(\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}\).
5. \(35^{\circ} + 60^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}\).
6. \(\angle ADB = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 60^{\circ} = 85^{\circ}\).
7. \(\angle ADB\) — это вписанный угол, опирающийся на дугу АВ.
8. Следовательно, дуга АВ = \(2 \cdot \angle ADB = 2 \cdot 85^{\circ} = 170^{\circ}\).
9. Нам нужно найти дугу СВ.
10. По условию, точка С лежит на отрезке AD. Это значит, что AD — секущая.
11. Дуга AD = дуга АС + дуга СD.
12. Из рисунка видно, что AD — секущая, и точки C и D лежат на ней.
13. Угол \(\angle BAD = 35^{\circ}\) — это угол между касательной AB и секущей AD.
14. Формула для угла между касательной и секущей: \(\angle BAD = \frac{1}{2} (| \text{дуга } BD - \text{дуга } CD |)\).
15. Мы знаем \(\angle BAD = 35^{\circ}\) и дугу BD = \(120^{\circ}\).
16. \(35^{\circ} = \frac{1}{2} (| 120^{\circ} - \text{дуга } CD |)\).
17. \(70^{\circ} = | 120^{\circ} - \text{дуга } CD |\).
18. Возможны два случая:
19. Случай 1: \(120^{\circ} - \text{дуга } CD = 70^{\circ}\) \(\implies \text{дуга } CD = 120^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ}\).
20. Случай 2: \(120^{\circ} - \text{дуга } CD = -70^{\circ}\) \(\implies \text{дуга } CD = 120^{\circ} + 70^{\circ} = 190^{\circ}\).
21. Общая градусная мера окружности равна \(360^{\circ}\).
22. Если дуга CD = \(50^{\circ}\), то дуга AC = \(360^{\circ} - \text{дуга } BD - \text{дуга } AB - \text{дуга } CD\).
23. Нам нужно найти дугу СВ.
24. Рассмотрим снова \(\triangle ABD\). \(\angle ADB = 85^{\circ}\). Этот угол опирается на дугу АВ. Следовательно, дуга АВ = \(2 \times 85^{\circ} = 170^{\circ}\).
25. У нас есть: дуга DB = \(120^{\circ}\), дуга AB = \(170^{\circ}\).
26. Сумма дуг AB + DB = \(170^{\circ} + 120^{\circ} = 290^{\circ}\).
27. Значит, оставшаяся часть окружности (дуга AD) = \(360^{\circ} - 290^{\circ} = 70^{\circ}\).
28. Но AD — секущая, проходящая через C.
29. Угол \(\angle BAD = 35^{\circ}\) — угол между касательной AB и секущей AD.
30. \(\angle BAD = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } CD)\) — если касательная АВ находится снаружи относительно дуги CD.
31. \(35^{\circ} = \frac{1}{2} (120^{\circ} - \text{дуга } CD)\). \(70^{\circ} = 120^{\circ} - \text{дуга } CD\). \(\text{дуга } CD = 50^{\circ}\).
32. Нам нужно найти дугу СВ.
33. Если дуга CD = \(50^{\circ}\) и дуга DB = \(120^{\circ}\), то дуга CB = дуга DB - дуга DC = \(120^{\circ} - 50^{\circ} = 70^{\circ}\) (если C между D и B, что не так).
34. Или дуга CB = дуга CD + дуга DB = \(50^{\circ} + 120^{\circ} = 170^{\circ}\) (если D между C и B, что не так).
35. Или дуга CB = дуга DB - дуга CB = \(120^{\circ}\) — ...
36. Пересмотрим условие: С принадлежит AD. Значит, AD — это прямая, а C — точка на ней.
37. Градусная мера дуги DB = \(120^{\circ}\).
38. Угол \(\angle BAD = 35^{\circ}\).
39. Угол между касательной и секущей: \(\angle BAD = \frac{1}{2}(\text{большая дуга} - \text{меньшая дуга})\).
40. Касательная AB, секущая AD. Точки касания/пересечения: B, D, C.
41. \(\text{Дуга } BD = 120^{\circ}\).
42. \(\text{Дуга } CD\)
43. \(\text{Дуга } CB\)
44. \(\angle BAD = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } CD)\) — это неверно, если C внутри дуги BD.
45. \(35^{\circ} = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } CB)\).
46. \(70^{\circ} = 120^{\circ} - \text{дуга } CB\).
47. \(\text{дуга } CB = 120^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ}\).
48. Проверим: \(\angle BAD = \frac{1}{2} (120^{\circ} - 50^{\circ}) = \frac{1}{2} (70^{\circ}) = 35^{\circ}\). Это верно.

Ответ: 50°.