4. На рисунке АК = 8 см, КС = 6 см, BK KD = 3 1 . Найдите длину хорды BD.

Решение:

1. Дано: \(AK = 8\) см, \(KC = 6\) см.
2. Дано: \(\frac{BK}{KD} = \frac{1}{3}\).
3. По теореме о пересекающихся хордах (или секущих, если рассматривать прямые, содержащие хорды), произведение отрезков хорд, пересекающихся в одной точке, равно.
4. В данном случае, хорды AK и BD пересекаются в точке K.
5. Поэтому: \(AK \cdot KC = BK \cdot KD\).
6. Подставим известные значения: \(8 \cdot 6 = BK \cdot KD\).
7. \(48 = BK \cdot KD\).
8. Из условия \(\frac{BK}{KD} = \frac{1}{3}\), выразим \(BK\): \(BK = \frac{1}{3} KD\).
9. Подставим это выражение в уравнение: \(48 = \left( \frac{1}{3} KD \right) \cdot KD\).
10. \(48 = \frac{1}{3} KD^2\).
11. Умножим обе стороны на 3: \(48 \cdot 3 = KD^2\).
12. \(144 = KD^2\).
13. Извлечем квадратный корень: \(KD = \sqrt{144} = 12\) см.
14. Теперь найдем \(BK\): \(BK = \frac{1}{3} KD = \frac{1}{3}  12 = 4\) см.
15. Длина хорды BD равна сумме отрезков BK и KD: \(BD = BK + KD\).
16. \(BD = 4 \text{ см} + 12 \text{ см} = 16\) см.

Ответ: 16 см.