2. Между пунктами А и В курсируют два автобуса. Первый тратит на дорогу туда и обратно 35 мин, второй — 40 мин. В какое время автобусы встретятся в пункте А, если первый автобус отправляется из А в первый рейс в 6 ч 15 мин, а второй тоже из А — в 6 ч 30 мин?

Решение:

Это задача на нахождение времени встречи. Нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) времени движения автобусов, чтобы определить, когда они снова окажутся на одной остановке. Также нужно учесть время отправления.

1. Найдём время движения для каждого автобуса:
   • Первый автобус: 35 минут (туда и обратно).
   • Второй автобус: 40 минут (туда и обратно).
2. Найдём НОК (35, 40):
   • Разложим числа на простые множители:
     • $$35 = 5 \cdot 7$$
     • $$40 = 2^3 \cdot 5$$
   • НОК$$(35, 40) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 5 \cdot 7 = 280$$ минут.
3. Переведём НОК в часы и минуты:
   • $$280$$ минут $$= 4$$ часа ($$280 \div 60 = 4$$ с остатком $$40$$).
   • Значит, через $$4$$ часа $$40$$ минут автобусы будут одновременно на одной остановке.
4. Рассчитаем время встречи первого автобуса:
   • Первый автобус отправляется в $$6$$ ч $$15$$ мин.
   • Он будет в пункте А через $$4$$ часа $$40$$ минут после своего отправления.
   • $$6$$ ч $$15$$ мин $$+ 4$$ ч $$40$$ мин $$= 10$$ ч $$55$$ мин.
5. Рассчитаем время встречи второго автобуса:
   • Второй автобус отправляется в $$6$$ ч $$30$$ мин.
   • Он также будет в пункте А через $$4$$ часа $$40$$ минут после своего отправления.
   • $$6$$ ч $$30$$ мин $$+ 4$$ ч $$40$$ мин $$= 11$$ ч $$10$$ мин.
6. Сравним время:
   • Первый автобус вернется в пункт А в $$10$$ ч $$55$$ мин.
   • Второй автобус вернется в пункт А в $$11$$ ч $$10$$ мин.
   • Они не встретятся одновременно в пункте А в это время.
7. Проверим, когда они встретятся в пункте А.
   • Время пути первого автобуса — 35 мин. Время его рейсов: 6:15, 6:50, 7:25, 8:00, 8:35, 9:10, 9:45, 10:20, 10:55, 11:30, ...
   • Время пути второго автобуса — 40 мин. Время его рейсов: 6:30, 7:10, 7:50, 8:30, 9:10, 9:50, 10:30, 11:10, 11:50, ...
   • Автобусы встретятся в пункте А, когда их время прибытия совпадет.
   • Они встретятся в 9 ч 10 мин.

Ответ: Автобусы встретятся в пункте А в 9 ч 10 мин.