2. Многочлен \(P(x)\) при делении на \(x-1\), \(x+1\), \(x-2\) дает в остатке соответственно 4, 2, 8. Найдите остаток от деления \(P(x)\) на \(x^3-2x^2-x+2\).

Разложим делитель на множители: \(x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x+1)(x-2)\). Искомый остаток имеет степень не выше 2, поэтому обозначим его через \(R(x)=ax^2+bx+c\).

По теореме об остатке: \(P(1)=4\), \(P(-1)=2\), \(P(2)=8\). Остаток при делении на произведение трех линейных множителей принимает те же значения в их корнях, значит:

\(a+b+c=4\), \(a-b+c=2\), \(4a+2b+c=8\).

Вычитая второе уравнение из первого, получаем \(2b=2\), то есть \(b=1\). Из первого уравнения следует \(a+c=3\), а из третьего — \(4a+c=6\). Следовательно, \(a=1\), \(c=2\).

Ответ: остаток \(x^2+x+2\).