№2 \(\triangle\) ABC <A=<C = 45° а) установите вид б) докажите, что медиана BD делит \(\triangle\) ABC на два равных треугольника

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle A = \angle C = 45^{\circ} \]

а) Вид треугольника:

1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. \[ \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \]
3. Так как один из углов равен 90°, ABC — прямоугольный треугольник.
4. Так как два угла равны (A = C), то треугольник равнобедренный.

Вывод: ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник.

б) Доказательство, что медиана BD делит ABC на два равных треугольника:

1. Медиана BD — это отрезок, соединяющий вершину B с серединой противоположной стороны AC. Обозначим середину AC как D.
2. Рассмотрим ABD и CBD.
3. Из пункта (а) мы знаем, что ABC — прямоугольный и равнобедренный.
• \[ AB = BC \]
• \[ A = C = 45^{\circ} \]
• \[ B = 90^{\circ} \]
4. Свойства медианы в равнобедренном треугольнике: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
5. Рассмотрим ABD и CBD:
• \[ AB = BC \] (так как ABC равнобедренный)
• \[ BAD = BCD = 45^{\circ} \] (по условию)
• \[ AD = DC \] (так как D — середина AC, BD — медиана)
6. Признак равенства треугольников по трем сторонам (SSS): Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
7. \[ ABD = CBD \] (по трем сторонам: AB=BC, AD=DC, BD - общая сторона).
8. Следствие: Медиана BD делит ABC на два равных треугольника ABD и CBD.
9. Дополнительно: Так как ABD = CBD, то ABD = CBD = 90°/2 = 45°. Таким образом, ABD и CBD являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Вывод: Медиана BD делит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника ABD и CBD.