№2. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA = 63°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В этой задаче нам помогут свойства вписанных углов и углов, опирающихся на диаметр.

• Угол ANB: Так как AB — диаметр окружности, то угол ANB, опирающийся на диаметр, является вписанным и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В данном случае, угол ANB равен 90°, так как он опирается на дугу AB (полуокружность).
• Угол NAM: Угол NBA и угол NAM опираются на одну и ту же дугу NA. Следовательно, они равны. Так как ∠NBA = 63°, то ∠NAM = 63°.
• Угол NMB: Угол NMB является вписанным углом, опирающимся на дугу NB. Для того чтобы найти этот угол, нам нужно найти градусную меру дуги NB.
• Угол NAB: Рассмотрим треугольник ANB. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы знаем, что ∠ANB = 90° и ∠NBA = 63°. Следовательно, ∠NAB = 180° - 90° - 63° = 27°.
• Дуга NB: Вписанный угол NAB опирается на дугу NB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Значит, дуга NB = 2 * ∠NAB = 2 * 27° = 54°.
• Угол NMB: Угол NMB — это вписанный угол, опирающийся на дугу NB. Его величина равна половине дуги NB: ∠NMB = 54° / 2 = 27°.

Альтернативное решение:

Углы NAM и NMB являются смежными углами, опирающимися на диаметр AB, и их сумма равна 180°. Однако, это не так. Углы NBA и NMA опираются на одну дугу NA. Углы NAB и NMB опираются на дугу NB.

Рассмотрим треугольник MNB. Угол MNB является вписанным и опирается на диаметр AB, значит ∠MNB = 90°.

В треугольнике MNB: ∠NMB + ∠MNB + ∠NBM = 180°

∠NMB + 90° + ∠NBM = 180°

∠NMB = 90° - ∠NBM

Нам известно ∠NBA = 63°. Угол NBM является частью угла NBA.

Угол NBA и NMA опираются на дугу NA. Угол NBA = 63°. Угол NMA = 63°.

Мы нашли, что ∠NAB = 27°.

Угол NMB = ∠NBA - ∠MBA.

Рассмотрим угол NBA = 63°. Этот угол опирается на дугу NA. Дуга NA = 2 * 63° = 126°.

Дуга NB = 360° - 180° - 126° = 54°.

Угол NMB опирается на дугу NB. Угол NMB = 54° / 2 = 27°.