2. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что \( ∠NBA = 68^\circ \). Найдите угол \( ∠NMB \). Ответ дайте в градусах.

Задание 2. Углы в окружности

Дано:

• Окружность с диаметром АВ.
• Точки М и N на окружности.
• \( ∠NBA = 68^\circ \).

Найти: \( ∠NMB \).

Решение:

1. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым (равен 90°). Следовательно, \( ∠NMA = 90^\circ \) и \( ∠NBA = 90^\circ \) (если бы точка M была на месте N).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △NBA \). Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( ∠NAB + ∠NBA + ∠ANB = 180^\circ \).
3. Так как \( ∠NBA \) опирается на диаметр \( AN \), то \( ∠NBA = 90^\circ \). В условии сказано \( ∠NBA = 68^\circ \), это означает, что \( AN \) не диаметр.
4. Важно: в условии сказано, что АВ — диаметр. Тогда \( ∠ANB = 90^\circ \) и \( ∠AMB = 90^\circ \).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △NBA \) (угол \( ∠ANB = 90^\circ \) т.к. опирается на диаметр АВ).
6. \( ∠NAB = 180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ \).
7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( △AMB \) (угол \( ∠AMB = 90^\circ \) т.к. опирается на диаметр АВ).
8. Углы \( ∠NAB \) и \( ∠NMB \) опираются на одну дугу \( NB \).
9. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Также, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
10. Таким образом, \( ∠NMB = ∠NAB \).
11. \( ∠NMB = 22^\circ \).

Ответ: 22