2) На окружности с центром О отмечены точки К и L, так, что угол KOL равен 140 градусов. Прямая LM касается окружности в точке L, так, что угол KLM острый. Найдите угол KSM, если M - точка пересечения прямой LM и прямой OK.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Точки K, L на окружности.
• $$\angle KOL = 140^\circ$$.
• Прямая LM — касательная к окружности в точке L.
• $$\angle KLM$$ — острый.
• M — точка пересечения LM и OK.

Найти: Угол KSM (опечатка в условии, предположительно имеется в виду $$\angle KML$$ или $$\angle LMS$$). Если найти $$\angle KML$$:

Решение:

1. Рассмотрим треугольник KOL. Так как OK и OL — радиусы окружности, то $$OK = OL$$. Треугольник KOL — равнобедренный.
2. Найдем углы при основании треугольника KOL: $$\angle OKL = \angle OLK = \frac{180^\circ - \angle KOL}{2} = \frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$$.
3. Так как LM — касательная к окружности в точке L, то радиус OL перпендикулярен касательной. Следовательно, $$\angle OLM = 90^\circ$$.
4. Найдем угол OLM: $$\angle OLM = 90^\circ$$.
5. Угол KLM смежный с углом OLK (или является частью развернутого угла, если M лежит между O и K, что маловероятно, так как угол KOL тупой, или смежный с углом OLM).
6. Из рисунка видно, что угол KLM является смежным с углом OLK, если M лежит на продолжении OK за точку K. Но по условию M - точка пересечения LM и OK, то есть M лежит на отрезке OK или его продолжении.
7. Угол KLM = $$\angle OLM - \angle OLK = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$$.
8. Угол KLM = $$70^\circ$$. Условие, что угол KLM острый, выполняется.
9. Рассмотрим треугольник KML. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$.
10. $$\angle KML + \angle MLK + \angle LKM = 180^\circ$$.
11. $$\angle KML + 70^\circ + 20^\circ = 180^\circ$$.
12. $$\angle KML = 180^\circ - 70^\circ - 20^\circ = 90^\circ$$.

Если имелся в виду угол KML:

Ответ: $$90^\circ$$.

Примечание: Обозначение угла "KSM" в условии, вероятно, является опечаткой. Рассчитан угол KML, как наиболее вероятный.