4) Отрезки КВ и КС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки К. Найдите угол ВКС, если середина отрезка КО лежит на окружности.

Дано:

• Окружность с центром О.
• КВ и КС — отрезки касательных к окружности.
• Точка М — середина отрезка КО, М лежит на окружности.

Найти: Угол ВКС.

Решение:

1. Так как М — середина отрезка КО и лежит на окружности, то КО является диаметром окружности. Следовательно, радиус окружности равен $$R = \frac{1}{2} KO$$.
2. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны, поэтому $$KB = KC$$.
3. Треугольник ВКС является равнобедренным.
4. Рассмотрим треугольник ОВК. Угол ОВК — угол между радиусом OB и касательной KB, поэтому он равен $$90^\circ$$.
5. В треугольнике ОВК $$OB = R$$. Так как М — середина КО и лежит на окружности, $$OM = R$$.
6. В треугольнике ОВК $$OB = OM = R$$. Значит, треугольник ОВК является прямоугольным и равнобедренным.
7. Углы при основании OK равны: $$\angle OKB = \angle OBK$$. Так как $$\angle OBK = 90^\circ$$, то углы при основании равны $$\frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$$.
8. Угол OKB равен $$45^\circ$$.
9. Аналогично, в прямоугольном треугольнике ОСК ($$OC = R$$, $$\angle OCK = 90^\circ$$), $$OC = OM = R$$. Треугольник ОСК равнобедренный, поэтому $$\angle OKC = 45^\circ$$.
10. Угол ВКС равен сумме углов OKB и OKC: $$\angle BKC = \angle OKB + \angle OKC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$$.

Ответ: $$90^\circ$$.