№ 2. На окружности с центром О отмечены точки К и L так, угол KOL равен 140°. Прямая LM касается окружности в точке L. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол KOL является центральным углом, опирающимся на дугу KL. Следовательно, градусная мера дуги KL равна 140°.

Угол KLM является вписанным углом, опирающимся на дугу KM. Чтобы найти угол KLM, нам нужно знать градусную меру дуги KM.

LM — касательная к окружности в точке L. Радиус OL перпендикулярен касательной LM. Следовательно, \(\angle OLM = 90^{\circ}\).

Угол KOL = 140°.

Угол LOM = 360° - 140° = 220° (большая дуга) или угол LOM = 140° (если мы рассматриваем угол KOL как меньший). Так как LM является касательной, а KL - хорда, то угол KLM является углом между касательной и хордой.

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой меры дуги, заключённой между ними.

Угол KLM опирается на дугу KL. Градусная мера дуги KL равна градусной мере центрального угла KOL, который равен 140°.

Следовательно, \(\angle KLM = \frac{1}{2} \text{дуга } KL = \frac{1}{2} \cdot 140^{\circ} = 70^{\circ}\).

Ответ: 70°.