№ 4. В треугольнике RQS известно, что QS = 10, \(\angle Q = 60^{\circ}\), \(\angle S = 75^{\circ}\). Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение:

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\).

В нашем треугольнике RQS:

• Сторона QS = 10.
• Угол Q = 60°.
• Угол S = 75°.

Сначала найдем третий угол R:

\(\angle R = 180^{\circ} - \angle Q - \angle S = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 75^{\circ} = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}\).

Теперь применим теорему синусов, используя сторону QS и противолежащий ей угол R:

\(\frac{QS}{\sin R} = 2R\)

\(\frac{10}{\sin 45^{\circ}} = 2R\)

Знаем, что \(\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R\)

\(\frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 2R\)

\(\frac{20}{\sqrt{2}} = 2R\)

Разделим обе части на 2:

\(R = \frac{10}{\sqrt{2}}\)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\(R = \frac{10 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\).

Ответ: 5\(\sqrt{2}\).