2. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 21 и ВС = 8. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Привет! Давай разберем эту задачку с окружностью и касательной.

Дано:

• Отрезок АВ.
• Точка С на отрезке АВ.
• AC = 21
• BC = 8
• Окружность с центром А, проходящая через С.

Найти: Длину касательной из точки В к окружности.

Решение:

1. Что мы знаем про окружность? Центр окружности — точка А. Радиус окружности — это расстояние от центра до любой точки на окружности. Так как окружность проходит через точку С, то радиус (\(r\)) равен длине отрезка АС.
2. Радиус окружности: \(r = AC = 21\).
3. Что такое касательная? Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Важное свойство касательной: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
4. Как найти длину АВ? Точка С лежит на отрезке АВ. Значит, длина всего отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
5. Длина АВ: \(AB = AC + BC = 21 + 8 = 29\).
6. Теперь про касательную из В: Пусть точка касания окружности прямой, исходящей из В, будет точка Т. Тогда отрезок АТ — это радиус окружности, а отрезок ВТ — это касательная, длину которой мы ищем.
7. Ключевой момент: Радиус АТ перпендикулярен касательной ВТ в точке касания Т. Это значит, что треугольник АТВ — прямоугольный, с прямым углом при вершине Т.
8. Применяем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике АТВ гипотенузой является сторона АВ (она лежит напротив прямого угла), а катетами — АТ (радиус) и ВТ (касательная).
9. Теорема Пифагора: \(AB^2 = AT^2 + BT^2\)
10. Подставляем известные значения: \(29^2 = 21^2 + BT^2\)
11. Считаем квадраты: \(841 = 441 + BT^2\)
12. Находим \(BT^2\): \(BT^2 = 841 - 441\)
13. \(BT^2 = 400\)
14. Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину касательной ВТ: \(BT = \sqrt{400}\)
15. \(BT = 20\)

Ответ: 20