2. На рис. 152 CD = 7 см. Найдите AB и ∠A.

Решение:

На рисунке 152 изображён прямоугольный треугольник ABC, где CD — высота, проведённая к гипотенузе AB. CD = 7 см. Также отмечено, что \(\angle ACD = \angle B = \alpha\) и \(\angle BCD = \angle A = \beta\). В треугольнике ADC, \(\angle ADC = 90°\), \(\angle ACD = \alpha\), \(\angle CAD = \beta\). В треугольнике BDC, \(\angle BDC = 90°\), \(\angle BCD = \beta\), \(\angle CBD = \alpha\).

Из подобия прямоугольных треугольников ADC и CDB следует, что \(\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}\) или \(CD^2 = AD \cdot BD\).

Также, из подобия треугольников ADC и ABC следует: \(\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\) или \(AC^2 = AD \cdot AB\).

Из подобия треугольников CDB и ABC следует: \(\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}\) или \(BC^2 = BD \cdot AB\).

Из подобия треугольников ADC и CDB следует: \(\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}\).

В треугольнике ADC, \(CD = 7\), \(\angle CAD = \beta\). В треугольнике CDB, \(CD = 7\), \(\angle CBD = \alpha\).

Поскольку \(\alpha + \beta = 90°\), и \(\angle ACD = \alpha\), \(\angle BCD = \beta\), то \(\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD = \alpha + \beta = 90°\), что подтверждает, что \(\triangle ABC\) — прямоугольный.

Из подобия \(\triangle ADC \sim \triangle CDB\) имеем: \(\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} \implies AD \cdot BD = CD^2 = 7^2 = 49\).

В \(\triangle ADC \), \(\tan(\angle CAD) = \tan(\beta) = \frac{CD}{AD} = \frac{7}{AD}\).

В \(\triangle CDB \), \(\tan(\angle CBD) = \tan(\alpha) = \frac{CD}{BD} = \frac{7}{BD}\).

Также \(\alpha + \beta = 90°\), следовательно \(\tan(\beta) = \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\).

\(\frac{7}{AD} = \frac{1}{\frac{7}{BD}} = \frac{BD}{7}\).

\(AD \cdot BD = 49\), что мы уже знаем.

Нам не даны значения углов \(\alpha\) или \(\beta\), и не даны длины сторон \(AD\) или \(BD\). Без дополнительной информации невозможно найти \(AB\) и \(\angle A\).

Ответ: Недостаточно данных для решения.