3. На рис. 153 AB = 9 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.

Решение:

На рисунке 153 изображён прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle C = 90°\). Нам дано, что \(AB = 9\) см. Расстояние от точки А до прямой ВС — это длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС. В данном случае, поскольку \(\angle C = 90°\), прямая AC является перпендикуляром к прямой BC. Следовательно, расстояние от точки А до прямой ВС равно длине отрезка AC.

В треугольнике ABC: \(\angle C = 90°\), \(AB = 9\), \(\angle A = 2x\), \(\angle B = x\).

Сумма углов в треугольнике равна 180°: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180°\).

\(2x + x + 90° = 180°\).

\(3x = 180° - 90°\).

\(3x = 90°\).

\(x = \frac{90°}{3} = 30°\).

Теперь найдём значения углов: \(\angle B = x = 30°\), \(\angle A = 2x = 2 \cdot 30° = 60°\).

Теперь мы можем найти длину стороны AC, используя тригонометрию:

\(\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}\).

\(\sin(30°) = \frac{AC}{9}\).

Мы знаем, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).

\(\frac{1}{2} = \frac{AC}{9}\).

\(AC = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5\) см.

Расстояние от точки А до прямой ВС равно длине отрезка AC.

Ответ: 4.5 см.