2. На рисунке АВ и АС - касательные к окружности. Точка К - середина отрезка ОА - лежит на окружности. Найдите угол ВАС.

Пошаговое решение:

• По свойству касательных, проведенных из одной точки, точка О (центр окружности) лежит на биссектрисе угла ВАС. Следовательно, луч ОА делит угол ВАС пополам.
• Также, радиусы OB и OC, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным AB и AC соответственно. Это означает, что треугольники OAB и OAC являются прямоугольными.
• По условию, точка K — середина отрезка OA — лежит на окружности. Это означает, что расстояние от центра O до точки K равно радиусу окружности, то есть $$OK = r$$.
• Так как K — середина OA, то $$OA = 2 × OK = 2r$$.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB. Гипотенуза OA = 2r, а катет OB = r (радиус окружности).
• В прямоугольном треугольнике, если один из катетов равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
• Следовательно, угол OAB = 30°.
• Так как OA является биссектрисой угла ВАС, то угол ВАС = 2 × угол OAB.
• Угол ВАС = 2 × 30° = 60°.

Ответ: 60°