2. На рисунке изображен куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Определите взаимное расположение прямых B₁C и MN:

Решение:

На рисунке изображен куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Прямая B₁C является ребром куба.

Точка M является серединой ребра A₁D₁.

Точка N является серединой ребра CD.

Рассмотрим прямую B₁C. Эта прямая параллельна ребру AD и ребру B₁A₁.

Рассмотрим прямую MN. Точка M находится на грани AA₁D₁D, точка N находится на грани ABCD.

Прямая MN соединяет середины ребер A₁D₁ и CD. Прямая B₁C принадлежит грани BB₁C₁C.

Чтобы определить взаимное расположение прямых B₁C и MN, нужно сравнить их направления.

Прямая B₁C параллельна оси Y (если представить куб в системе координат).

Прямая MN лежит в плоскости, образованной точками M, N, C, B₁. Для наглядности, представим, что куб лежит на плоскости ABCD. Тогда A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0), A₁=(0,0,a), B₁=(a,0,a), C₁=(a,a,a), D₁=(0,a,a).

Тогда:

• B₁ = (a, 0, a)
• C = (a, a, 0)
• M = середина A₁D₁ = \( \frac{(0,0,a) + (0,a,a)}{2} = (0, a/2, a) \)
• N = середина CD = \( \frac{(a,a,0) + (0,a,0)}{2} = (a/2, a, 0) \)

Вектор B₁C = C - B₁ = (a, a, 0) - (a, 0, a) = (0, a, -a).

Вектор MN = N - M = (a/2, a, 0) - (0, a/2, a) = (a/2, a/2, -a).

Эти векторы не параллельны, так как их компоненты не пропорциональны.

Чтобы понять, пересекаются ли они, найдем уравнение прямой B₁C: \( r(t) = B₁ + t(C-B₁) = (a, 0, a) + t(0, a, -a) = (a, at, a - at) \).

Уравнение прямой MN: \( s(u) = M + u(N-M) = (0, a/2, a) + u(a/2, a/2, -a) = (u \frac{a}{2}, \frac{a}{2} + u \frac{a}{2}, a - ua) \).

Приравняем соответствующие компоненты:

1. \( a = u \frac{a}{2} \) > \( u = 2 \)
2. \( at = \frac{a}{2} + u \frac{a}{2} \)
3. \( a - at = a - ua \)

Из (1) получаем \( u = 2 \). Подставим \( u=2 \) в (3):

\( a - at = a - 2a \) > \( -at = -2a \) > \( t = 2 \).

Подставим \( t=2 \) и \( u=2 \) во второе уравнение:

\( a(2) = \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} \) > \( 2a = \frac{a}{2} + a \) > \( 2a = \frac{3a}{2} \).

Это равенство не выполняется, значит, прямые не пересекаются.

Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Ответ: в) являются скрещивающимися