2) На рисунке трапеция ABCD, AD ∥ BC, AB = CD, CD = 5, AD = 10, ∠ABD = 90°. Найти: ∠A, ∠DBC, ∠C, ∠CDB.

По отметкам AB = CD, поэтому AB = 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD: гипотенуза AD = 10, а катет AB = 5.

cos ∠A = AB / AD = 5 / 10 = 1/2, значит, ∠A = 60°. Тогда ∠ADB = 30°.

Трапеция равнобедренная, поэтому углы при основании AD равны: ∠D = ∠A = 60°. Соседние углы при параллельных основаниях дополняют друг друга до 180°, следовательно, ∠C = 120°.

Так как AD ∥ BC, ∠DBC = ∠ADB = 30° (накрест лежащие углы). Также ∠CDB = ∠ADB = 30°, поскольку ∠CDA = 60°, а диагональ DB делит его на ∠CDB и ∠BDA, причём ∠BDA = 30°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠DBC = 30°, ∠C = 120°, ∠CDB = 30°.