2. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM = MB, AN : ND = 3 : 4. Выразите векторы CM, CN, MN через векторы CB и CD.

Обозначим \(\overrightarrow{CB}=\mathbf b\) и \(\overrightarrow{CD}=\mathbf d\). Тогда \(\overrightarrow{CA}=\mathbf b+\mathbf d\).

1. Так как M — середина AB, вектор к середине от C равен среднему арифметическому векторов к A и B: \(\overrightarrow{CM}=\frac{(\mathbf b+\mathbf d)+\mathbf b}{2}=\mathbf b+\frac12\mathbf d\).
2. Точка N делит AD в отношении 3:4, поэтому \(\overrightarrow{AN}=\frac37\overrightarrow{AD}=\frac37\mathbf b\). Следовательно, \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\mathbf b+\mathbf d-\frac47\mathbf b=\frac47\mathbf b+\mathbf d\), поскольку \(\overrightarrow{AD}=-\mathbf b\) при выбранных обозначениях.
3. Вычитаем векторы положения: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}= -\frac37\mathbf b+\frac12\mathbf d\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\frac12\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{CN}=\frac47\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac37\overrightarrow{CB}+\frac12\overrightarrow{CD}\).