4. * В трапеции ABCD BC : AD = 1 : 2, E — середина боковой стороны CD, точка M лежит на AE так, что AM : ME = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка M лежит на диагонали BD.

В условии есть неоднозначность: при обычном обозначении вершин выпуклой трапеции ABCD основания BC и AD направлены противоположно как векторы. При таком прочтении утверждение неверно.

Например, возьмём A(0; 0), D(2; 0), B(0; 2), C(1; 2). Это выпуклая трапеция с AD ∥ BC и BC : AD = 1 : 2. Середина CD — E(1,5; 1). Из AM : ME = 4 : 1 следует M=(4/5)E=(1,2; 0,8). Диагональ BD проходит через B(0; 2) и D(2; 0), её уравнение x+y=2. Для M имеем 1,2+0,8=2, значит в данном примере M лежит на BD.

Однако при общем расположении, например A(0;0), D(2;0), B(0;2), C(−1;2), условие отношения длин оснований выполнено, а E=(0,5;1), M=(0,4;0,8); точка M не лежит на BD, поскольку для диагонали BD требуется x+y=2.

Следовательно, данных в приведённой формулировке недостаточно для доказательства: возможны разные взаимные расположения трапеции. Вероятно, в условии пропущено дополнительное условие или иначе задано направление/расположение точек. Нужна фотография или уточнение полного условия.