2. На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, причём MP = PB = AK; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

В треугольнике MPB имеем MP = PB и ∠MPB = 60°. Значит, его углы при M и B также равны 60°, поэтому треугольник равносторонний и BM = MP.

Точки M и B лежат на стороне MH, поэтому MB направлен вдоль MH. Угол между лучами PM и PB равен 60°, а в равностороннем треугольнике направление MB образует с лучом MP угол 60°. Следовательно, угол параллелограмма при M равен 120°, а соседний угол при P равен 60°. Противоположные углы равны: ∠K = 120°, ∠H = 60°.

В параллелограмме KH = MP. По условию MP = AK, значит, в треугольнике AKH стороны AK и KH равны MP, а угол AKH равен 120°. По теореме косинусов:

AH² = AK² + KH² − 2·AK·KH·cos 120° = 2MP² + MP² = 3MP².

Значит, AH = √3·MP. При этом BM = MP, а √3 > 1.

Ответ: углы параллелограмма — 60° и 120°; BM < AH.