2. На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A₁ так, что DA₁ = 4 см. Через A₁ проведена прямая, параллельная диагонали AC, которая пересекает сторону CD в точке C₁. а) Докажите подобие треугольников C₁DA₁ и ABC. б) Найдите AC, если BC = 10 см, A₁C₁ = 6 см.

а) В параллелограмме противоположные стороны параллельны: DA ∥ BC и CD ∥ AB. По построению A₁C₁ ∥ AC.

Значит, углы между сторонами треугольника C₁DA₁ равны соответствующим углам треугольника ABC: ∠C₁DA₁ = ∠ABC, ∠DA₁C₁ = ∠BCA. Следовательно, треугольники подобны по двум углам: △C₁DA₁ ∼ △BCA, то есть вершины соответствуют так: C₁ ↔ B, D ↔ A, A₁ ↔ C.

б) Из подобия следует пропорция соответствующих сторон:

DA₁ / BC = A₁C₁ / AC.

Подставим данные:

4 / 10 = 6 / AC, поэтому AC = 6 · 10 / 4 = 15 см.

Ответ: AC = 15 см.