№2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K такая, что BK=KC, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Введём начало в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а так как ABCD — ромб (параллелограмм), \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

1. O — середина диагонали AC, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b)\).
2. K — середина BC. Следовательно, \(\overrightarrow{BK}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec b\), откуда \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\frac12\vec b\).
3. \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AK}+\vec b=\frac12\vec b-\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\vec a\).