2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P, CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы x = BA и y = BC векторы BO, BP и PA.

Пусть вершина B — начало отсчёта. Тогда радиус-векторы точек A, C и D равны соответственно \(\vec x\), \(\vec y\) и \(\vec x+\vec y\).

1. Диагонали квадрата пересекаются пополам, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. P — середина CD, поэтому \(\overrightarrow{BP}=\frac12(\vec y+\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\vec y\).
3. \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).