2. На стороне PS ромба MPSN лежит точка K так, что PK = KS, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы MO, MK, KN через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{MP}\) и \(\vec{b}=\overrightarrow{MN}\).

Введём начало отсчёта в точке M. Тогда радиус-векторы точек P и N равны \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а для вершины S параллелограмма \(\overrightarrow{MS}=\vec{a}+\vec{b}\).

1. Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac12\overrightarrow{MS}=\frac12(\vec{a}+\vec{b})\).
2. K — середина PS, поэтому \(\overrightarrow{MK}=\frac12(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MS})=\frac12(\vec{a}+\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}+\frac12\vec{b}\).
3. \(\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MK}=\vec{b}-\vec{a}-\frac12\vec{b}=\frac12\vec{b}-\vec{a}\).

Ответ: \(\overrightarrow{MO}=\frac12(\vec{a}+\vec{b})\), \(\overrightarrow{MK}=\vec{a}+\frac12\vec{b}\), \(\overrightarrow{KN}=\frac12\vec{b}-\vec{a}\).