2. Найдите корни уравнения: 1) a) (x - 7) / (x - 2) + (x + 4) / (x + 2) = 1; б) (2) / (x - 5) - (4) / (x + 5) = (3) / (x² - 25);

Решение:

2. Нахождение корней уравнений:

а) \(\frac{x - 7}{x - 2} + \frac{x + 4}{x + 2} = 1\)

Общий знаменатель: \( (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 \). ОДЗ: \( x \neq 2 \), \( x \neq -2 \).

Умножим обе части уравнения на \( x^2 - 4 \):

\[ (x - 7)(x + 2) + (x + 4)(x - 2) = 1(x^2 - 4) \]

\[ (x^2 + 2x - 7x - 14) + (x^2 - 2x + 4x - 8) = x^2 - 4 \]

\[ (x^2 - 5x - 14) + (x^2 + 2x - 8) = x^2 - 4 \]

\[ 2x^2 - 3x - 22 = x^2 - 4 \]

\[ 2x^2 - x^2 - 3x - 22 + 4 = 0 \]

\[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Оба корня \( 6 \) и \( -3 \) входят в ОДЗ.

б) \(\frac{2}{x - 5} - \frac{4}{x + 5} = \frac{3}{x^2 - 25}\)

Общий знаменатель: \( (x - 5)(x + 5) = x^2 - 25 \). ОДЗ: \( x \neq 5 \), \( x \neq -5 \).

Умножим обе части уравнения на \( x^2 - 25 \):

\[ 2(x + 5) - 4(x - 5) = 3 \]

\[ 2x + 10 - 4x + 20 = 3 \]

\[ -2x + 30 = 3 \]

\[ -2x = 3 - 30 \]

\[ -2x = -27 \]

\[ x = \frac{-27}{-2} = 13.5 \]

Корень \( 13.5 \) входит в ОДЗ.

Ответ: 2. 1) а) \( x=6, x=-3 \); б) \( x=13.5 \).