6. Постройте график функции: y = (x² - x - 12) / (x - 3) + (x² - 9) / (x + 3)

Решение:

Упростим выражение для функции \( y \).

\( y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 3} + \frac{x^2 - 9}{x + 3} \)

Разложим числители на множители:

\( x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \)

\( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)

Подставим разложенные множители в выражение для \( y \):

\( y = \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} \)

Для первого слагаемого:

\( \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 3} \) — это не упрощается без изменений.

Для второго слагаемого:

\( \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3 \) при \( x \neq -3 \).

Теперь исходное выражение выглядит так:

\( y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 3} + x - 3 \)

Приведем к общему знаменателю:

\( y = \frac{x^2 - x - 12 + (x - 3)(x - 3)}{x - 3} \)

\( y = \frac{x^2 - x - 12 + x^2 - 6x + 9}{x - 3} \)

\( y = \frac{2x^2 - 7x - 3}{x - 3} \)

Однако, в задании подразумевается, что дробь \( \frac{x^2 - x - 12}{x - 3} \) может быть упрощена, что возможно, если \( x-3 \) является множителем числителя. Проверим: \( 3^2 - 3 - 12 = 9 - 3 - 12 = -6
e 0 \). Значит, \( x-3 \) не является множителем числителя \( x^2 - x - 12 \).

Пересмотрим условие задания. Возможно, в первой дроби знаменатель должен быть \( x+3 \), а во второй \( x-3 \).

Пусть условие было: \( y = \frac{x^2 - x - 12}{x + 3} + \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)

\( y = \frac{(x - 4)(x + 3)}{x + 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \)

\( y = (x - 4) + (x + 3) \) при \( x \neq -3 \) и \( x \neq 3 \).

\( y = 2x - 1 \) при \( x \neq -3 \) и \( x \neq 3 \).

Графиком будет прямая \( y = 2x - 1 \) с выколотыми точками при \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

При \( x = -3 \): \( y = 2(-3) - 1 = -6 - 1 = -7 \). Точка (-3, -7) выколота.

При \( x = 3 \): \( y = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 \). Точка (3, 5) выколота.

Ответ: График функции — прямая \( y = 2x - 1 \) с выколотыми точками (-3, -7) и (3, 5).