2. Найдите корни уравнения: а) x⁴ − 2x² − 8 = 0; б) x³ − 5x² − x + 5 = 0; в) 144x² = (x² + 35)²; г) (x² − 9)² + 8(x² − 9) − 105 = 0; д) (x² − 7x)(x² − 7x + 22) + 120 = 0.

Положим y = x². Тогда y² − 2y − 8 = 0, то есть (y − 4)(y + 2) = 0. Поскольку y = x² ≥ 0, подходит y = 4. Значит, x = −2 или x = 2.

Сгруппируем слагаемые: x³ − 5x² − x + 5 = x²(x − 5) − 1(x − 5) = (x² − 1)(x − 5) = (x − 1)(x + 1)(x − 5). Поэтому x = −1, 1, 5.

Так как x² + 35 положительно, из равенства квадратов следует x² + 35 = 12|x|. Обозначим t = |x|: t² − 12t + 35 = 0, то есть (t − 5)(t − 7) = 0. Значит, |x| = 5 или |x| = 7, откуда x = −7, −5, 5, 7.

Положим y = x² − 9. Тогда y² + 8y − 105 = 0, или (y − 7)(y + 15) = 0. Если y = 7, то x² = 16 и x = ±4. Если y = −15, то x² = −6, что не имеет действительных решений. Итак, x = −4 или x = 4.

Обозначим y = x² − 7x. Получим y(y + 22) + 120 = 0, то есть (y + 10)(y + 12) = 0.

При y = −10: x² − 7x + 10 = 0, откуда x = 2 или x = 5.

При y = −12: x² − 7x + 12 = 0, откуда x = 3 или x = 4.

Ответ: x = 2, 3, 4, 5.