2. Найдите объем пирамиды, основанием которой является прямоугольник со сторонами 3см и 4 см, если боковое ребро пирамиды равно 6,5 см.

Решение:

Объем пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S \cdot H \), где \( S \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.

Площадь основания (прямоугольник):

\( S = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \) см²

Найдем высоту пирамиды. В основании прямоугольника диагональ \( d \) равна:

\( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) см.

Если боковое ребро пирамиды равно \( L = 6,5 \) см, то высота \( H \) пирамиды связана с половиной диагонали основания \( d/2 = 2,5 \) см и боковым ребром \( L \) соотношением:

\( L^2 = H^2 + (d/2)^2 \)

\( (6,5)^2 = H^2 + (2,5)^2 \)

\( 42,25 = H^2 + 6,25 \)

\( H^2 = 42,25 - 6,25 = 36 \)

\( H = \sqrt{36} = 6 \) см.

Теперь найдем объем:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 24 \) см³

Ответ: 24 см³.