4. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а боковое ребро равно 6 см.

Решение:

Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S \cdot H \), где \( S \) — площадь основания, \( H \) — высота.

Основание — правильный шестиугольник со стороной \( a = 3 \) см.

Площадь правильного шестиугольника:

\( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2} \) см².

Найдем высоту \( H \). В правильной шестиугольной пирамиде все боковые ребра равны, и вершина проецируется в центр основания. Радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника равен стороне \( a \).

\( R = a = 3 \) см.

Боковое ребро \( L = 6 \) см.

Высота \( H \) находится по теореме Пифагора:

\( L^2 = H^2 + R^2 \)

\( 6^2 = H^2 + 3^2 \)

\( 36 = H^2 + 9 \)

\( H^2 = 36 - 9 = 27 \)

\( H = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) см.

Теперь найдем объем:

\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \cdot 3\sqrt{3} \text{ см} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{27 \cdot 3 \cdot 3}{6} = \frac{243}{6} = \frac{81}{2} = 40,5 \) см³

Ответ: 40,5 см³.