2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой 12см и образует с плоскостью основания угол 45°.

Привет! Давай разберемся с этой задачей.

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида.
• Боковое ребро (l) = 12 см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α) = 45°.

Найти:

• Объем пирамиды (V).

Решение:

1. Что такое правильная четырехугольная пирамида?

   Это значит, что в основании лежит квадрат, а вершина пирамиды проецируется в центр этого квадрата.

2. Найдем высоту пирамиды (H):

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (l), высотой пирамиды (H) и радиусом описанной окружности вокруг основания (R). Угол между боковым ребром и основанием — это угол между l и R.

   В нашем случае α = 45°.

   cos(α) = rac{R}{l} ightarrow R = l imes ext{cos}(45^ ext{°}) = 12 imes rac{\sqrt{2}}{2} = 6 ext{\sqrt{2}} ext{ см}

   sin(α) = rac{H}{l} ightarrow H = l imes ext{sin}(45^ ext{°}) = 12 imes rac{\sqrt{2}}{2} = 6 ext{\sqrt{2}} ext{ см}

   (Примечание: Так как угол равен 45°, то R = H. Это равнобедренный прямоугольный треугольник.)

3. Найдем сторону основания (a):

   Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали (d). Диагональ квадрата связана со стороной по формуле d = a ext{\sqrt{2}}.

   R = rac{d}{2} = rac{a ext{\sqrt{2}}}{2}

   a = rac{2R}{ ext{\sqrt{2}}} = rac{2 imes 6 ext{\sqrt{2}}}{ ext{\sqrt{2}}} = 12 ext{ см}

4. Найдем площадь основания (S):

   Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

   S = a^2 = (12 ext{ см})^2 = 144 ext{ см}^2

5. Найдем объем пирамиды (V):

   Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

   V = rac{1}{3} imes S imes H

   V = rac{1}{3} imes 144 ext{ см}^2 imes 6 ext{\sqrt{2}} ext{ см} = 48 imes 6 ext{\sqrt{2}} ext{ см}^3 = 288 ext{\sqrt{2}} ext{ см}^3

Ответ: 288 ext{\sqrt{2}} см³