2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол 45°.

Решение:

• Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле: V = (1/3) ⋅ S_осн ⋅ h, где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды.
• В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (l), высотой пирамиды (h) и радиусом описанной окружности вокруг основания (R). В данном случае, так как угол между боковым ребром и высотой равен 45°, то этот треугольник является равнобедренным прямоугольным. Следовательно, h = R.
• Боковое ребро (l) равно 20 см.
• В прямоугольном треугольнике, образованном высотой (h), половиной диагонали основания (R) и боковым ребром (l), по теореме Пифагора: l² = h² + R².
• Так как h = R, то 20² = h² + h², что даёт 400 = 2h².
• Отсюда h² = 200, и h = \(\sqrt{200}\) = 10\(\sqrt{2}\) см.
• Поскольку h = R, то R = 10\(\sqrt{2}\) см.
• Диагональ основания (d) равна 2R = 20\(\sqrt{2}\) см.
• Сторона основания квадрата (a) связана с диагональю формулой d = a\(\sqrt{2}\).
• Тогда a = d / \(\sqrt{2}\) = (20\(\sqrt{2}\)) / \(\sqrt{2}\) = 20 см.
• Площадь основания: S_осн = a² = 20² = 400 см².
• Теперь вычислим объём пирамиды: V = (1/3) ⋅ 400 см² ⋅ 10\(\sqrt{2}\) см = (4000\(\sqrt{2}\))/3 см³.

Ответ: (4000\(\sqrt{2}\))/3 см³