2. Найдите общий вид первообразной. I: а) f(x)=1/x²+3cos x; б) f(x)=4sin x cos x. II: а) f(x)=1/x³−2sin x; б) f(x)=cos²x−sin²x.

Находим первообразную каждого слагаемого отдельно и добавляем произвольную постоянную C.

I, а) \(\int (x^{-2}+3\cos x)\,dx=-x^{-1}+3\sin x+C\). Следовательно, \(F(x)=-\frac{1}{x}+3\sin x+C\), где \(x\ne0\).

I, б) Так как \((\sin^2 x)'=2\sin x\cos x\), получаем \(\int 4\sin x\cos x\,dx=2\sin^2 x+C\).

II, а) \(\int (x^{-3}-2\sin x)\,dx=-\frac{1}{2x^2}+2\cos x+C\), где \(x\ne0\).

II, б) Используем тождество \(\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x\): \(\int \cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\sin 2x+C\).