3. Вычислите интегралы. I: а) ∫ от 0,25 до 0,5 dx/x²; б) ∫ от 0 до π/2 cos x dx. II: а) ∫ от −1 до 1 2x² dx; б) ∫ от π/2 до π 2sin(x/2) dx.

Для определённого интеграла используем формулу Ньютона—Лейбница: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).

I, а) \(\int_{0.25}^{0.5}\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{0.25}^{0.5}=-2-(-4)=2\).

I, б) \(\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=[\sin x]_0^{\pi/2}=1-0=1\).

II, а) \(\int_{-1}^{1}2x^2\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}\).

II, б) \(\int_{\pi/2}^{\pi}2\sin\frac{x}{2}\,dx=\left[-4\cos\frac{x}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=0-(-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}\).

Ответ: I, а) 2; б) 1. II, а) \(\frac{4}{3}\); б) \(2\sqrt{2}\).