4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. I: y=1−x², y=0, x=−1. II: y=2−x², y=0, x=−1, x=0.

Площадь между графиком \(y=f(x)\) и осью Ox на отрезке равна \(S=\int_a^b f(x)\,dx\), если функция неотрицательна. В варианте I парабола пересекает ось Ox при \(x=-1\) и \(x=1\), поэтому границы области — эти точки.

I. На отрезке \([-1,1]\) функция \(1-x^2\) неотрицательна. Тогда \(S=\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}\).

II. На отрезке \([-1,0]\) функция \(2-x^2\) положительна. Тогда \(S=\int_{-1}^{0}(2-x^2)\,dx=\left[2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}=0-\left(-2+\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{3}\).

Ответ: I — \(\frac{4}{3}\) кв. ед.; II — \(\frac{5}{3}\) кв. ед.