2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x²-2, y=0, x= 4, x = 5

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\( S = ∫_a^b |f(x)| dx \)

В данном случае \( f(x) = x^2 - 2 \), \( a = 4 \), \( b = 5 \). Функция \( y = x^2 - 2 \) на интервале \( [4, 5] \) принимает положительные значения, так как \( 4^2 - 2 = 14 > 0 \).

Поэтому формула принимает вид:

\( S = ∫_4^5 (x^2 - 2) dx \)

Найдём первообразную:

\( ∫ (x^2 - 2) dx = \frac{x^3}{3} - 2x + C \)

Теперь вычислим определённый интеграл:

\( S = ⁺ [\frac{x^3}{3} - 2x]_4^5 \)

\( S = (\frac{5^3}{3} - 2 · 5) - (\frac{4^3}{3} - 2 · 4) \)

\( S = (\frac{125}{3} - 10) - (\frac{64}{3} - 8) \)

\( S = \frac{125}{3} - 10 - \frac{64}{3} + 8 \)

\( S = (\frac{125}{3} - \frac{64}{3}) + (-10 + 8) \)

\( S = \frac{61}{3} - 2 \)

\( S = \frac{61}{3} - \frac{6}{3} \)

\( S = \frac{55}{3} \)

Ответ: \( \frac{55}{3} \)