8. Найдите все первообразные для функции f(x) = x² + 3eˣ - 7

Решение:

Первообразная для функции \( f(x) \) обозначается \( F(x) \) и находится путём интегрирования.

\( F(x) = ∫ (x^2 + 3e^x - 7) dx \)

Используем правила интегрирования:

\( ∫ x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)

\( ∫ e^x dx = e^x + C \)

\( ∫ k dx = kx + C \)

Применяем эти правила к нашей функции:

\( F(x) = ∫ x^2 dx + ∫ 3e^x dx - ∫ 7 dx \)

\( F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3 ∫ e^x dx - 7 ∫ dx \)

\( F(x) = \frac{x^3}{3} + 3e^x - 7x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 3e^x - 7x + C \)