2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Многогранник состоит из нескольких прямоугольных параллелепипедов. Обозначим размеры, указанные на рисунке: длина верхнего параллелепипеда = 5, ширина = 2, высота = 3. Длина нижнего выступающего параллелепипеда = 7, ширина = 4, высота = 6.

Разобьем фигуру на три части:

1. Верхний параллелепипед: размеры 5x2x3.
• Передняя и задняя грани: 2 * (5 * 3) = 30
• Боковые грани: 2 * (2 * 3) = 12
• Верхняя грань: 5 * 2 = 10
• Нижняя грань (соприкасается с нижним блоком): 5 * 2 = 10
2. Левый нижний параллелепипед: размеры 7x4x6.
• Передняя и задняя грани: 2 * (7 * 6) = 84
• Боковые грани: 2 * (4 * 6) = 48
• Нижняя грань: 7 * 4 = 28
• Верхняя грань (частично соприкасается с верхним блоком): 7 * 4 = 28
3. Правый выступающий параллелепипед: размеры, не указанные явно, но видно, что его ширина равна ширине нижнего блока (4), а высота равна высоте нижнего блока (6). Длина равна 3 (от 7-4).
• Передняя и задняя грани: 2 * (3 * 6) = 36
• Боковые грани: 2 * (4 * 6) = 48
• Верхняя грань: 3 * 4 = 12
• Нижняя грань: 3 * 4 = 12

Теперь нужно учесть, какие грани являются внешними, а какие — внутренними (соприкасаются с другими частями).

Альтернативный подход: Развертка или подсчет видимых граней.

Давайте посчитаем каждую грань отдельно:

1. Передние грани:

• Верхний блок: 5 * 3 = 15
• Средний блок (выступ): 6 * 3 = 18
• Нижний блок: 7 * 6 = 42
• Всего передних = 15 + 18 + 42 = 75

2. Задние грани: (такие же, как передние)

• Верхний блок: 5 * 3 = 15
• Средний блок: 6 * 3 = 18
• Нижний блок: 7 * 6 = 42
• Всего задних = 75

3. Верхние грани:

• Верхний блок: 5 * 2 = 10
• Средний блок: 6 * 2 = 12
• Нижний блок: 7 * 2 = 14
• Всего верхних = 10 + 12 + 14 = 36

4. Нижние грани:

• Верхний блок: 5 * 2 = 10
• Средний блок: 6 * 2 = 12
• Нижний блок: 7 * 2 = 14
• Всего нижних = 36

5. Левые грани:

• Верхний блок: 3 * 2 = 6
• Средний блок: 6 * 4 = 24
• Нижний блок: 6 * 4 = 24
• Всего левых = 6 + 24 + 24 = 54

6. Правые грани:

• Верхний блок: 3 * 2 = 6
• Средний блок: 6 * 4 = 24
• Нижний блок: 6 * 4 = 24
• Всего правых = 6 + 24 + 24 = 54

Сумма всех внешних граней: 75 + 75 + 36 + 36 + 54 + 54 = 330.

Важно: Необходимо вычесть площади соприкасающихся граней. Давайте пересчитаем, учитывая эту особенность.

Площадь поверхности = Сумма площадей всех граней - 2 * Площадь внутренних соединений.

1. Верхний блок (5x2x3):

• Площадь всех граней: 2*(5*2 + 5*3 + 2*3) = 2*(10 + 15 + 6) = 2*31 = 62
• Нижняя грань (5x2) соприкасается с нижним блоком. Площадь соприкосновения: 5 * 2 = 10.

2. Левый нижний блок (7x4x6):

• Площадь всех граней: 2*(7*4 + 7*6 + 4*6) = 2*(28 + 42 + 24) = 2*94 = 188
• Верхняя грань (7x4) частично соприкасается с верхним блоком. Площадь соприкосновения: 5 * 2 = 10. (Только та часть, где верхний блок опирается).
• Передняя грань (7x6) частично соприкасается с правым блоком. Длина выступающего блока = 3. Площадь соприкосновения: 3 * 6 = 18.

3. Правый выступающий блок (3x4x6):

• Площадь всех граней: 2*(3*4 + 3*6 + 4*6) = 2*(12 + 18 + 24) = 2*54 = 108
• Передняя грань (3x6) соприкасается с левым нижним блоком. Площадь соприкосновения: 3 * 6 = 18.

Сумма площадей всех граней по отдельности: 62 + 188 + 108 = 358.

Площади внутренних соединений:

• Верхний блок с нижним: 10
• Левый нижний блок с верхним: 10
• Левый нижний блок с правым: 18
• Правый блок с левым нижним: 18

Общая площадь соприкосновения = 10 + 10 + 18 + 18 = 56.

Итоговая площадь поверхности = 358 - 56 = 302.

Проверка: посчитаем видимые грани:

1. Верхний блок:

• Верхняя: 5x2 = 10
• Передняя: 5x3 = 15
• Задняя: 5x3 = 15
• Левая: 3x2 = 6
• Правая: 3x2 = 6
• Нижняя: 5x2 = 10 (эта грань полностью видна, так как под ней только выступающий блок, но он не полностью перекрывает)

2. Левый нижний блок:

• Передняя: 7x6 = 42
• Задняя: 7x6 = 42
• Левая: 6x4 = 24
• Нижняя: 7x4 = 28
• Верхняя: 7x4 = 28 (часть, которая не закрыта верхним блоком, т.е. (7-5)x4 = 2x4 = 8)

3. Правый выступающий блок:

• Передняя: 3x6 = 18
• Задняя: 3x6 = 18
• Правая: 6x4 = 24
• Верхняя: 3x4 = 12
• Нижняя: 3x4 = 12

Суммируем видимые грани:

Верхний блок: 10 + 15 + 15 + 6 + 6 + 10 = 62

Левый нижний блок: 42 + 42 + 24 + 28 + 8 = 144

Правый блок: 18 + 18 + 24 + 12 + 12 = 84

Общая площадь = 62 + 144 + 84 = 290.

Пересчитаем размеры:

1. Большой нижний параллелепипед: 7 (длина) x 4 (ширина) x 6 (высота).

2. Верхний параллелепипед: 5 (длина) x 2 (ширина) x 3 (высота). Он расположен так, что его ширина (2) меньше ширины нижнего (4), а его длина (5) меньше длины нижнего (7).

3. Маленький выступающий параллелепипед: его ширина 4, высота 6. Длина = 7 - 5 = 2.

Площадь поверхности:

1. Большой нижний (7x4x6):

• Площадь боковых граней (без учета перекрытий): 2 * (7*6) + 2 * (4*6) = 84 + 48 = 132.
• Нижняя грань: 7*4 = 28.
• Верхняя грань (только видимая часть): (7-5)*4 = 2*4 = 8.
• Итого большой нижний = 132 + 28 + 8 = 168.

2. Верхний (5x2x3):

• Площадь боковых граней: 2 * (5*3) + 2 * (2*3) = 30 + 12 = 42.
• Верхняя грань: 5*2 = 10.
• Нижняя грань (полностью видна, так как под ней выступает другой блок): 5*2 = 10.
• Итого верхний = 42 + 10 + 10 = 62.

3. Маленький выступающий (2x4x6):

• Площадь боковых граней: 2 * (2*6) + 2 * (4*6) = 24 + 48 = 72.
• Верхняя грань: 2*4 = 8.
• Нижняя грань: 2*4 = 8.
• Итого маленький = 72 + 8 + 8 = 88.

Общая площадь = 168 + 62 + 88 = 318.

Пересчет по граням:

1. Передняя грань:

• Верхний: 5 * 3 = 15
• Средний (выступающий): 2 * 6 = 12
• Нижний: 7 * 6 = 42
• Итого = 15 + 12 + 42 = 69

2. Задняя грань: (аналогично передней) = 69

3. Верхняя грань:

• Верхний: 5 * 2 = 10
• Средний: 2 * 4 = 8
• Нижний: 7 * 4 = 28
• Итого = 10 + 8 + 28 = 46

4. Нижняя грань: (аналогично верхней) = 46

5. Левая грань:

• Верхний: 3 * 2 = 6
• Нижний: 6 * 4 = 24
• Итого = 6 + 24 = 30

6. Правая грань: (аналогично левой) = 30

Сумма = 69 + 69 + 46 + 46 + 30 + 30 = 290.

Ответ: 290