5. Решите уравнение \( √{-40 + 13x} = x \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (√{-40 + 13x})^2 = x^2 \)

\( -40 + 13x = x^2 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 13x + 40 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 × 1 × 40 = 169 - 160 = 9 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{13 + √{9}}{2 × 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{13 - √{9}}{2 × 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Теперь проверим найденные корни в исходном уравнении \( √{-40 + 13x} = x \). Обязательно нужно проверить, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, и чтобы правая часть (x) была неотрицательной, так как она равна корню.

Проверка для \( x_1 = 8 \):

\( √{-40 + 13 × 8} = √{-40 + 104} = √{64} = 8 \)

\( 8 = 8 \) — корень подходит.

Проверка для \( x_2 = 5 \):

\( √{-40 + 13 × 5} = √{-40 + 65} = √{25} = 5 \)

\( 5 = 5 \) — корень подходит.

Оба корня подходят. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, нужно записать меньший из корней.

Меньший корень — 5.

Ответ: 5