2. Найдите значение выражения sin²α · tgα − cos²α, если известно, что sinα = 1/3.

Из условия:

\[\sin^2\alpha=\frac19,\qquad \cos^2\alpha=1-\frac19=\frac89.\]

Если \(\alpha\) — острый угол, то \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}\), поэтому:

\[ g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1/3}{2\sqrt2/3}=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.\]

Подставим:

\[\sin^2\alpha\cdot g\alpha-\cos^2\alpha=\frac19\cdot\frac{\sqrt2}{4}-\frac89=\frac{\sqrt2}{36}-\frac{32}{36}=\frac{\sqrt2-32}{36}.\]

Если четверть угла не задана, возможен также угол II четверти: тогда \( g\alpha=-\frac{\sqrt2}{4}\), и значение выражения равно \(-\frac{\sqrt2+32}{36}\).

Ответ: при остром \(\alpha\) — \(\frac{\sqrt2-32}{36}\).