№2. Одна из сторон треугольника на 8 см больше другой, а углы, лежащие против этих сторон, равны соответственно 45° и 30°. Найдите эти стороны треугольника.

Стороне, лежащей против угла 45°, соответствует большая длина. Обозначим через \(x\) сторону напротив угла 30°; тогда сторона напротив угла 45° равна \(x+8\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{x+8}{\sin45°}=\dfrac{x}{\sin30°}\).

Подставим значения синусов: \(\dfrac{x+8}{\frac{\sqrt2}{2}}=\dfrac{x}{\frac12}\), откуда \(x+8=\sqrt2x\).

Тогда \(x=\dfrac{8}{\sqrt2-1}=8(\sqrt2+1)\) см, а большая сторона равна \(x+8=8\sqrt2+16\) см.

Ответ: \(8(\sqrt2+1)\) см и \(8\sqrt2+16\) см.