2. Около треугольника АВС описана окружность с центром О. Точка D является серединой стороны AB, ∠OAB = 45°, OD = 14. Найдите длину стороны АВ.

Решение:

1. Анализ данных: Нам дана окружность, описанная около треугольника АВС, с центром в точке О. Точка D — середина стороны АВ. Известно, что угол ∠OAB равен 45°, а отрезок OD равен 14.
2. Свойства равнобедренного треугольника: Так как О — центр описанной окружности, то OA = OB (радиусы). Это означает, что треугольник АОВ — равнобедренный.
3. Углы в равнобедренном треугольнике: В равнобедренном треугольнике АОВ углы при основании равны, то есть ∠OAB = ∠OBA = 45°.
4. Сумма углов треугольника: Сумма углов в треугольнике АОВ равна 180°. Следовательно, ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.
5. Треугольник ODA: OD — это высота, проведенная к основанию AB в равнобедренном треугольнике АОВ (так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины, совпадают). Следовательно, OD перпендикулярна AB, и угол ∠ODA = 90°.
6. Прямоугольный треугольник ODA: Мы имеем прямоугольный треугольник ODA, где ∠OAD = 45°, ∠ODA = 90°. Следовательно, ∠AOD = 180° - 90° - 45° = 45°.
7. Равнобедренный прямоугольный треугольник: Так как ∠OAD = ∠AOD = 45°, то треугольник ODA является равнобедренным прямоугольным треугольником. Стороны, лежащие против равных углов, равны: OD = AD.
8. Расчет AD: Поскольку OD = 14, то AD = 14.
9. Расчет AB: D — середина стороны AB. Следовательно, AB = 2 * AD.
10. Итоговый расчет: AB = 2 * 14 = 28.

Ответ: 28