5. Точка В симметрична вершине D треугольника ACD относительно прямой АС. Найдите ∠BAC, если ∠ADB = 42°.

Дано:

• B — точка, симметричная D относительно прямой AC.
• ∠ADB = 42°

Найти: ∠BAC

Решение:

1. Свойство симметрии: Если точка B симметрична точке D относительно прямой AC, то прямая AC является серединным перпендикуляром к отрезку BD. Это означает, что AC ⊥ BD и любая точка на AC равноудалена от B и D.
2. Пересечение диагоналей: Обозначим точку пересечения отрезка BD и прямой AC как K.
3. Равенство углов: Из свойства симметрии следует, что ∠BDA = ∠BCA = 42°. Также, ∠BKC = ∠DKC = 90°.
4. Равнобедренный треугольник: Треугольник ABD является равнобедренным, так как AC — ось симметрии, которая является серединным перпендикуляром к BD. Это означает, что AB = AD.
5. Углы при основании: В равнобедренном треугольнике ABD, углы при основании AB и AD равны. То есть, ∠ABD = ∠ADB = 42°.
6. Сумма углов в ΔABD:
• ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°
• ∠BAD + 42° + 42° = 180°
• ∠BAD + 84° = 180°
• ∠BAD = 180° - 84°
• ∠BAD = 96°
7. Симметрия и углы: Так как B симметрична D относительно AC, то луч AB является отражением луча AD относительно прямой AC. Это означает, что луч AC делит угол ∠BAD пополам.
8. Находим ∠BAC:
• ∠BAC = ∠BAD / 2
• ∠BAC = 96° / 2
• ∠BAC = 48°

Ответ: 48°