2. Окружность пересечена двумя прямыми, проходящими через ее центр. Докажите, что хорды, соединяющие соответствующие точки пересечения прямых с окружностью, попарно равны.

Решение:

Пусть даны две прямые, пересекающиеся в центре окружности O. Обозначим точки их пересечения с окружностью как A, B и C, D соответственно (так, что прямая AB и прямая CD проходят через O). Хорды AC и BD соединяют соответствующие точки пересечения.

Прямые AB и CD являются диаметрами окружности, так как они проходят через центр O. Следовательно, OA = OB = OC = OD = R (радиус окружности).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \).

• \( OA = OB = R \)
• \( OC = OD = R \)
• \( \angle AOC = \angle BOD \) (вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle AOC = \triangle BOD \). Следовательно, соответствующие стороны AC и BD равны.

Аналогично, если рассмотреть хорды AD и BC, то \( \triangle AOD = \triangle BOC \) (так как \( \angle AOD = \angle BOC \) — вертикальные углы), и следовательно, \( AD = BC \).

Таким образом, хорды, соединяющие соответствующие точки пересечения, попарно равны.

Доказано.