3. Из точки, принадлежащей окружности, проведены две равные хорды. Докажите, что диаметр, проходящий через эту точку, делит угол между хордами пополам.

Решение:

Пусть точка A принадлежит окружности. Из точки A проведены две равные хорды AB и AC.

Рассмотрим диаметр AD, проходящий через точку A.

Доказательство от противного:

Предположим, что диаметр AD не делит угол BAC пополам. Это значит, что угол BAD не равен углу CAD.

Если \( AB = AC \) (равные хорды), то дуги, на которые они опираются, тоже равны: дуга BC, на которую опираются обе хорды (если рассматривать хорды как часть треугольника ABC), и следовательно, центральные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны.

Если провести радиусы OB и OC, то \( \triangle OAB \) и \( \triangle OAC \) будут равны по трем сторонам (OA — общий радиус, OB = OC = R, AB = AC по условию).

Углы \( \angle OAB \) и \( \angle OAC \) равны.

Поскольку AD — диаметр, он проходит через центр O. Таким образом, линия AD является биссектрисой угла BAC, потому что она делит его на два равных угла \( \angle OAB \) и \( \angle OAC \) (или, если рассматривать углы, опирающиеся на дуги, то диаметр, проходящий через вершину угла, будет делить его пополам, если хорды равны).

Доказано.