2. Определите циклическую частоту и период T колебаний тела, массой m = 300 г, прикрепленного к вертикальной пружине. Известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на расстояние x₀= 10 мм и для возбуждения колебаний его смещают вниз на расстояние x = 15 мм и отпускают.

Решение:

В состоянии покоя сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести:

\( k x_0 = mg \)

где \( k \) — жесткость пружины, \( m \) — масса тела, \( g \) — ускорение свободного падения.

Из этого уравнения можно найти жесткость пружины:

\( k = \frac{mg}{x_0} \)

Циклическая частота колебаний математического маятника определяется формулой:

\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

Подставим выражение для \( k \) в формулу для \( \omega \):

\( \omega = \sqrt{\frac{mg/x_0}{m}} = \sqrt{\frac{g}{x_0}} \)

Переведём все величины в систему СИ:

\( m = 300 \text{ г} = 0,3 \text{ кг} \)

\( x_0 = 10 \text{ мм} = 0,01 \text{ м} \)

Примем \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \).

\( \omega = \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2}{0,01 \text{ м}}} = \sqrt{1000} \text{ с}^{-1} \approx 31,6 \text{ с}^{-1} \)

Период колебаний \( T \) связан с циклической частотой соотношением:

\( T = \frac{2\pi}{\omega} \)

\( T = \frac{2\pi}{\sqrt{1000}} \text{ с} \approx \frac{2 \cdot 3,14}{31,6} \text{ с} \approx \frac{6,28}{31,6} \text{ с} \approx 0,199 \text{ с} \approx 0,2 \text{ с} \)

Начальное смещение \( x = 15 \text{ мм} \) влияет на амплитуду колебаний, но не на циклическую частоту и период.

Ответ: \( \omega \approx 31,6 \text{ с}^{-1} \), \( T \(\approx\) 0,2 \(\text{ с}\).