2. Основание прямой призмы — правильный шестиугольник со стороной 4. Угол между диагональю основания A₆A₄ и диагональю A₆A₄′ равен 30°. Найти объём призмы.

Диагональ правильного шестиугольника, соединяющая вершины через одну, равна \(4\sqrt3\). В прямоугольном треугольнике \(A_6A_4A_4'\) высота призмы перпендикулярна плоскости основания, поэтому

\(A_4A_4'=A_6A_4\cdot\tan30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=4\).

Площадь правильного шестиугольника со стороной 4:

\(S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot4^2=24\sqrt3\).

Тогда объём призмы:

\(V=24\sqrt3\cdot4=96\sqrt3\).

Ответ: \(96\sqrt3\) куб. ед.