2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) острые углы равны \( \angle A = 24° \) и \( \angle B = 66° \).

Пусть CD — биссектриса, а CM — медиана, проведенные из вершины прямого угла C.

Биссектриса CD делит угол C пополам:

\( \angle ACD = \angle BCD = \frac{90°}{2} = 45° \).

Медиана CM соединяет вершину C с серединой гипотенузы AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, \( CM = AM = MB \).

Рассмотрим треугольник CMB. Он равнобедренный, так как \( CM = MB \). Угол CMB — внешний угол треугольника AMC.

В равнобедренном треугольнике CMB, \( \angle MCB = \angle B = 66° \).

Угол между биссектрисой CD и медианой CM равен разности углов BCD и BCM.

\( \angle DCM = |\angle BCD - \angle MCB| = |45° - 66°| = |-21°| = 21° \).

Ответ: 21