3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, AB = 41, tgA = 1/9. Найдите АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{9} \).

Из этого следует, что \( AC = 9 \cdot BC \).

По теореме Пифагора:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

\( (9 \cdot BC)^2 + BC^2 = 41^2 \)

\( 81 \cdot BC^2 + BC^2 = 1681 \)

\( 82 \cdot BC^2 = 1681 \)

\( BC^2 = \frac{1681}{82} \)

\( BC = \sqrt{\frac{1681}{82}} = \frac{41}{\sqrt{82}} \).

Теперь найдём \( AC \):

\( AC = 9 \cdot BC = 9 \cdot \frac{41}{\sqrt{82}} = \frac{369}{\sqrt{82}} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH, проведенная из вершины прямого угла, удовлетворяет соотношению:

\( CH^2 = AH \cdot HB \).

Также, в прямоугольном треугольнике ABC:

\( AC^2 = AH \cdot AB \).

Отсюда находим AH:

\( AH = \frac{AC^2}{AB} \)

\( AH = \frac{\left(\frac{369}{\sqrt{82}}\right)^2}{41} = \frac{\frac{369^2}{82}}{41} = \frac{136161}{82 \cdot 41} = \frac{136161}{3362} \).

Произведем деление:

\( 136161 \cdot 3362 \cdot 40.49... \)

Проверим другое соотношение для \( \text{tg} A \):

\( \text{tg} A = \frac{CH}{AH} = \frac{1}{9} \), следовательно \( AH = 9 \cdot CH \).

Также \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{9} \).

В прямоугольном треугольнике ACH:

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

Подставим \( AC = 9 \cdot BC \) и \( AH = \frac{AC^2}{AB} \).

\( AH = \frac{AC^2}{41} \).

Так как \( \text{tg} A = \frac{1}{9} \), мы можем представить \( BC = k \) и \( AC = 9k \).

По теореме Пифагора: \( (9k)^2 + k^2 = 41^2 \) => \( 81k^2 + k^2 = 1681 \) => \( 82k^2 = 1681 \) => \( k^2 = \frac{1681}{82} \).

\( k = \frac{41}{\sqrt{82}} \).

\( BC = \frac{41}{\sqrt{82}} \) и \( AC = \frac{369}{\sqrt{82}} \).

Теперь используем соотношение \( AC^2 = AH \cdot AB \):

\( \cdot AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{\left(\frac{369}{\sqrt{82}}\right)^2}{41} = \frac{\frac{136161}{82}}{41} = \frac{136161}{82 \cdot 41} = \frac{136161}{3362} \).

\( AH = 40.49... \) — это неверно. Попробуем иначе.

Из \( \text{tg} A = \frac{1}{9} \), следует, что \( \frac{BC}{AC} = \frac{1}{9} \).

Также, в прямоугольном треугольнике ABC, \( \text{tg} A = \frac{CH}{AH} \). Следовательно, \( \frac{CH}{AH} = \frac{1}{9} \) => \( AH = 9 \cdot CH \).

В прямоугольном треугольнике AHC, \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \). Подставим \( AH = 9 \cdot CH \):

\( AC^2 = (9 \cdot CH)^2 + CH^2 = 81 \cdot CH^2 + CH^2 = 82 \cdot CH^2 \).

Теперь воспользуемся тем, что \( AC^2 = AH \cdot AB \).

\( 82 \cdot CH^2 = AH \cdot AB \).

Подставим \( AH = 9 \cdot CH \) и \( AB = 41 \):

\( 82 \cdot CH^2 = (9 \cdot CH) \cdot 41 \)

\( 82 \cdot CH^2 = 369 \cdot CH \).

Так как \( CH \cdot 0 \), мы можем разделить обе стороны на CH:

\( 82 \cdot CH = 369 \)

\( CH = \frac{369}{82} \).

Теперь найдем AH:

\( AH = 9 \cdot CH = 9 \cdot \frac{369}{82} = \frac{3321}{82} \).

\( \frac{3321}{82} = 40.49... \)

Давайте проверим условие \( \text{tg} A = \frac{1}{9} \) еще раз. Возможно, \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} \) и \( \text{tg} A = \frac{CH}{AH} \) — это правильные направления.

Из \( \text{tg} A = \frac{1}{9} \), мы можем рассматривать треугольник ABC как составленный из подобных треугольников ACH и CBH.

Если \( \text{tg} A = \frac{1}{9} \), то \( \frac{BC}{AC} = \frac{1}{9} \).

Также \( \text{tg} A = \frac{CH}{AH} \), значит \( \frac{CH}{AH} = \frac{1}{9} \).

По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике: \( CH^2 = AH \cdot HB \).

Из \( AH = 9 \cdot CH \) => \( CH = \frac{AH}{9} \).

Подставим в \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

\( AC^2 = AH^2 + (\frac{AH}{9})^2 = AH^2 + \frac{AH^2}{81} = \frac{81 \cdot AH^2 + AH^2}{81} = \frac{82 \cdot AH^2}{81} \).

Из \( AC^2 = AH \cdot AB \), подставим \( AB = 41 \):

\( \frac{82 \cdot AH^2}{81} = AH \cdot 41 \).

Так как \( AH \cdot 0 \), разделим на AH:

\( \frac{82 \cdot AH}{81} = 41 \)

\( AH = \frac{41 \cdot 81}{82} = \frac{1 \cdot 81}{2} = 40.5 \).

Ответ: 40.5