2. Отношение площадей подобных треугольников (формулировка и доказательство).

Краткое пояснение:

Формулировка теоремы:

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Доказательство:

1. Пусть даны два подобных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) с коэффициентом подобия k. Это означает, что \( \frac{AB}{A_1B_1} = rac{BC}{B_1C_1} = rac{AC}{A_1C_1} = k \).
2. Площадь любого треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \).
3. Пусть \( h \) — высота \( \triangle ABC \), опущенная на сторону \( AB \), а \( h_1 \) — высота \( \triangle A_1B_1C_1 \), опущенная на сторону \( A_1B_1 \).
4. Из подобия треугольников следует, что отношение их высот также равно коэффициенту подобия: \( \frac{h}{h_1} = k \).
5. Тогда отношение площадей будет:
   \( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = rac{\frac{1}{2} · AB · h}{\frac{1}{2} · A_1B_1 · h_1} = \frac{AB}{A_1B_1} · \frac{h}{h_1} = k · k = k^2 \).

Вывод: Таким образом, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.